Teori ekonomi perilaku konsumen yang dijelaskan pada bagian sebelumnya menghasilkan formulasi fungsi permintaan individu tetapi data pasar, tidak menggambarkan hasil dari perilaku individu tunggal. Mereka menunjukkan hasil dari perilaku masyarakat secara keseluruhan. Kita harus membenarkan penggunaan konsep fungsi permintaan agregat untuk masing-masing komoditas untuk mengidentifikasi estimasi statistik kita dengan kurva permintaan teoretis.
Masalah agregasi kedua muncul dalam pemilihan komoditas yang akan diestimasi fungsi permintaannya. Permintaan gula atau produk primer individu lainnya, studi pada karya paling awal tentang analisis permintaan statistik, melibatkan sedikit masalah agregasi. Namun, permintaan akan makanan, mobil, semua barang tahan lama, dan kelompok heterogen utama lainnya dalam anggaran konsumen menimbulkan masalah nomor indeks yang penting.
Untuk bentuk umum dari fungsi permintaan, dua hasil yang tepat dari sifat yang sangat membatasi dikenal dalam teori perilaku konsumen. Pertama, jika pendapatan sekelompok orang semuanya berubah dalam proporsi yang sama, dan jika setiap anggota kelompok diasumsikan memiliki elastisitas yang sama, maka elastisitas pendapatan individu umum ini diperkirakan dengan elastisitas pasar.
Kedua, barang-barang berbeda yang harganya semuanya berubah dalam proporsi yang sama dapat secara efektif diperlakukan sebagai barang tunggal sejauh proposisi sentral dalam teori perilaku konsumen dan yang bersangkutan. Akan tetapi, diketahui dengan baik bahwa perubahan pendapatan dan perubahan harga sangat tersebar. Proposisi ini lebih bersifat teoretis daripada hasil praktis untuk pekerjaan empiris.
Untuk sistem yang benar-benar linier, beberapa hasil lagi dapat ditetapkan. Misalkan permintaan individu ke-j untuk produk ke-j dapat dinyatakan sebagai
Harga diasumsikan seragam di pasar untuk semua pembeli. Kuantitas yang diminta, pendapatan, dan gangguan diasumsikan bervariasi antar individu. Parameter diasumsikan konstan di antara individu. Jika fungsi individu ini ditambahkan ke semua orang di pasar yang kita miliki
Jika fungsi permintaan individu adalah nonlinier, katakanlah pendapatan parabola seperti pada contoh sebelumnya, agregasi tidak semudah itu. Jumlah pangkat pertama dari suatu variabel adalah pangkat pertama dari jumlah tersebut. Untuk alasan ini persamaan linier mudah dikumpulkan. Namun, jumlah pangkat kedua dari suatu variabel bukanlah pangkat kedua dari jumlah tersebut; oleh karena itu agregasi parabola melibatkan masalah baru. Identitas, diambil dari statistik dasar.
memberitahu kita bahwa agregasi parabola memberikan persamaan pasar di mana permintaan per kapita tergantung pada, penambahan pendapatan per kapita, pendapatan per kapita kuadrat dan deviasi kuadrat rata-rata tentang pendapatan per kapita.
Istilah terakhir adalah varian dari distribusi pendapatan. Jadi, kita harus mempertimbangkan dua ciri distribusi pendapatan, tingkat rata-rata dan penyebarannya. Unsur baru ada dalam hubungan permintaan pasar.
Masalah menjumlahkan komoditas untuk memperoleh ekspresi fungsi permintaan dari kategori utama permintaan lebih rumit. Ini dapat disederhanakan jika kita mulai dengan formulasi lain dari fungsi permintaan linier umum.
Kami akan menghilangkan superskrip j di sini karena kami tidak peduli dengan agregasi individu pada tahap ini. Mengalikan kedua sisi dengan pu dan menjumlahkan subgrup 1, 2 . . . ni memberi.
Kami mendefinisikan indeks harga semua barang dalam subkelompok sebagai
di mana
wi = bobot barang ke-I dalam indeks harga subkelompok.
Membagi kedua sisi persamaan agregat dengan indeks harga ini memberikan
Istilah sebelah kiri ditafsirkan sebagai nilai yang dihabiskan untuk subkelompok yang dikurangi oleh indeks harga subkelompok. Ini adalah indeks kuantitas subkelompok. Kami akan menyebutnya x 1 (1) . Fraksi pertama di sisi kanan adalah rasio antara dua kombinasi berat yang berbeda dari harga n 1 dalam subkelompok. Di pembilang, bobot adalah jumlah dari koefisien dalam persamaan permintaan. Dalam penyebut bobotnya adalah W;. Sebagai perkiraan, kita dapat menganggap rasio ini konstan.
Istilah berikutnya adalah harga relatif berturut-turut, yaitu rasio antara masing-masing harga di luar subgrup dan indeks subgrup. Kemudian kita memiliki istilah pendapatan yang diturunkan oleh indeks subkelompok. Istilah gangguan dapat diartikan sebagai rasio antara dua harga rata-rata tertimbang dalam subkelompok. Di pembilang, rata-rata tertimbang memiliki bobot acak dan di penyebut bobot tetap. Kami menyebut komposit sebagai variabel acak baru
Dari titik ini, agregasi individu dapat dilanjutkan seperti di atas.
Semua prosedur agregasi ini melibatkan asumsi dan perkiraan yang kuat. Hasilnya akan lebih mendekati jika parameter diasumsikan bervariasi antar individu. Untuk kasus yang lebih rumit ini, serta untuk berbagai jenis nonlinier, hasil tertentu dapat diperoleh. Dari waktu ke waktu, dalam konteks masalah tertentu, beberapa temuan ini akan dipaparkan dalam eksposisi berikut.
Dapat dengan mudah dilihat bagaimana asumsi linearitas menyederhanakan hasil agregasi ke dalam perilaku pasar. Jika nonlinier adalah tipe elastisitas konstan, model dapat diubah, seperti yang ditunjukkan di atas, menjadi model linier dalam logaritma.
Proposisi-proposisi sekarang yang dinyatakan dalam bentuk besaran biasa (aritmatika) dapat diterjemahkan ke dalam rata-rata logaritma, yang, pada gilirannya, adalah logaritma dari rata-rata geometris. Data pasar dalam bentuk total aritmatika biasanya tidak mengizinkan perhitungan rata-rata geometris.
Karena jumlah logaritma bukanlah logaritma dari suatu penjumlahan, kita tidak dapat membuat terjemahan langsung ke dalam logaritma total pasar di mana masing-masing fungsi adalah logaritma. Dalam beberapa keadaan, untungnya, ada hubungan tetap antara rata-rata aritmetika dan geometri. Ini akan dijelaskan untuk masalah tertentu di bawah ini.
Analisis permintaan, dalam aplikasi statistik pertama, dirumuskan dalam bentuk total pasar seolah-olah unit tersebut wajar. Namun, kami menemukan bahwa jika korespondensi yang hati-hati dibuat antara teori tradisional, yang ditulis dalam istilah permintaan individu untuk komoditas tertentu, dan perhitungan statistik data pasar, jembatan agregasi harus dibangun.
Jika jembatan ini diperhatikan, pilihan nomor indeks yang berbeda dan peran distribusi pendapatan menjadi lebih jelas. Ekonometrika harus selalu menganalisis implikasi agregasi perhitungannya dengan data pasar.
Kita telah melihat, di bagian ini bahwa fungsi linier menghadirkan beberapa masalah; apalagi jika dapat diasumsikan bahwa parameter dalam fungsi linier adalah sama untuk semua individu, fungsi nonlinier biasanya membawa fenomena distribusi pendapatan ke dalam fungsi permintaan agregat.
