Uji Chi-Square: Arti. Aplikasi dan Kegunaan | Statistik

Setelah membaca artikel ini Anda akan belajar tentang:- 1. Pengertian Uji Chi-Square 2. Tingkat Signifikansi Uji Chi-Square 3. Uji Chi-Square pada Hipotesis Nol 4. Syarat Validitas 5. Sifat Aditif 6. Aplikasi 7. Kegunaan.

Arti Uji Chi-Square:

Uji Chi-square (χ ² ) merupakan metode yang berguna untuk membandingkan hasil eksperimen yang diperoleh dengan yang diharapkan secara teoritis pada beberapa hipotesis.

Jadi Chi-kuadrat adalah ukuran divergensi aktual dari frekuensi yang diamati dan yang diharapkan. Sangat jelas bahwa pentingnya ukuran seperti itu akan sangat besar dalam studi pengambilan sampel di mana kita harus selalu mempelajari perbedaan antara teori dan fakta.

Chi-kuadrat seperti yang telah kita lihat adalah ukuran perbedaan antara frekuensi yang diharapkan dan yang diamati dan dengan demikian jika tidak ada perbedaan antara frekuensi yang diharapkan dan yang diamati, nilai Chi-kuadrat adalah 0.

Jika ada perbedaan antara frekuensi yang diamati dan frekuensi yang diharapkan maka nilai Chi-kuadrat akan lebih dari 0. Artinya, semakin besar Chi-kuadrat semakin besar kemungkinan perbedaan nyata dari hasil yang diamati secara eksperimental dari hasil yang diharapkan.

Jika nilai chi-kuadrat yang dihitung sangat kecil dibandingkan dengan nilai tabelnya, ini menunjukkan bahwa perbedaan antara frekuensi aktual dan frekuensi yang diharapkan sangat kecil dan akibatnya kecocokannya bagus. Sebaliknya, jika nilai chi-kuadrat yang dihitung sangat besar dibandingkan dengan nilai tabelnya, ini menunjukkan bahwa perbedaan antara frekuensi yang diharapkan dan yang diamati sangat besar dan akibatnya kesesuaiannya buruk.

Untuk mengevaluasi Chi-kuadrat, kami memasukkan Tabel E dengan nilai chi-kuadrat yang dihitung dan jumlah derajat kebebasan yang sesuai. Banyaknya df = (r – 1) (c – 1) dimana r adalah jumlah baris dan c jumlah kolom tempat data ditabulasikan.

Jadi pada tabel 2 x 2 derajat kebebasan adalah (2 – 1) (2 – 1) atau 1. Demikian pula pada tabel 3 x 3 derajat kebebasan adalah (3 – 1) (3 – 1) atau 4 dan pada tabel 3 x 4 derajat kebebasannya adalah (3 – 1) (4 – 1) atau 6.

Tingkat Signifikansi Uji Chi-Square:

Nilai yang dihitung dari χ ² (Chi-square) dibandingkan dengan nilai tabel, untuk menyimpulkan apakah perbedaan antara frekuensi yang diharapkan dan yang diamati disebabkan oleh fluktuasi pengambilan sampel dan signifikan atau apakah perbedaan tersebut disebabkan oleh beberapa alasan lain dan sebagai signifikan. Divergensi teori dan fakta selalu diuji dalam probabilitas tertentu.

Probabilitas menunjukkan tingkat ketergantungan yang dapat kita tempatkan pada kesimpulan yang ditarik. Nilai tabel χ ² tersedia di berbagai tingkat probabilitas. Tingkatan ini disebut tingkat signifikansi. Biasanya nilai χ ² pada tingkat signifikansi 0,05 dan 0,01 untuk derajat kebebasan tertentu dapat dilihat dari tabel.

Jika nilai χ ^{2 yang dihitung} lebih besar dari nilai tabulasi, maka dikatakan signifikan. Dengan kata lain, perbedaan antara frekuensi yang diamati dan yang diharapkan tidak dapat dikaitkan dengan kebetulan dan kami menolak hipotesis nol.

Dengan demikian kami menyimpulkan bahwa percobaan tidak mendukung teori. Di sisi lain, jika nilai χ ² yang dihitung kurang dari nilai tabulasi yang sesuai, maka dikatakan tidak signifikan pada tingkat signifikansi yang disyaratkan.

Ini menyiratkan bahwa perbedaan antara nilai yang diamati (eksperimen) dan nilai yang diharapkan (teori) dapat dikaitkan dengan kebetulan, yaitu fluktuasi pengambilan sampel.

Uji Chi-Square dengan Hipotesis Nol:

Misalkan kita diberi sekumpulan frekuensi yang diamati yang diperoleh dari beberapa eksperimen dan kita ingin menguji apakah hasil eksperimen tersebut mendukung hipotesis atau teori tertentu. Karl Pearson pada tahun 1990, mengembangkan tes untuk menguji signifikansi perbedaan antara nilai-nilai eksperimental dan nilai-nilai teoritis yang diperoleh berdasarkan beberapa teori atau hipotesis.

Tes ini dikenal sebagai tes χ ² dan digunakan untuk menguji apakah penyimpangan antara pengamatan (eksperimen) dan teori dapat dikaitkan dengan kebetulan (fluktuasi pengambilan sampel) atau apakah itu benar-benar karena ketidakmampuan teori untuk menyesuaikan dengan data yang diamati.

Di bawah Hipotesis Null kami menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara yang diamati (percobaan) dan nilai-nilai teoritis atau hipotetis, yaitu, ada kompatibilitas yang baik antara teori dan eksperimen.

Persamaan untuk chi-kuadrat (χ ² ) dinyatakan sebagai berikut:

di mana f _o = frekuensi kemunculan fakta yang diamati atau ditentukan secara eksperimental

f _e = frekuensi kejadian yang diharapkan pada beberapa hipotesis.

Jadi chi-kuadrat adalah jumlah nilai yang diperoleh dengan membagi kuadrat perbedaan antara frekuensi yang diamati dan diharapkan dengan frekuensi yang diharapkan dalam setiap kasus. Dengan kata lain perbedaan antara frekuensi yang diamati dan diharapkan dikuadratkan dan dibagi dengan jumlah yang diharapkan dalam setiap kasus, dan jumlah hasil bagi ini adalah χ ² .

Beberapa ilustrasi uji chi-kuadrat akan memperjelas pembahasan yang diberikan di atas. Perbedaan f _o dan f _e ditulis selalu + ve.

1. Menguji divergensi hasil yang diamati dari yang diharapkan pada hipotesis probabilitas yang sama (hipotesis nol):

Contoh 1:

Sembilan puluh enam subjek diminta untuk mengungkapkan sikap mereka terhadap proposisi “Haruskah pendidikan AIDS diintegrasikan dalam kurikulum tingkat menengah atas” dengan memberi tanda F (favorable), I (indifferent) atau U (unfavorable).

Diamati bahwa 48 bertanda ‘F’, 24 ‘I’ dan 24 ‘U’:

(i) Uji apakah hasil yang diamati berbeda secara signifikan dari hasil yang diharapkan jika tidak ada preferensi dalam kelompok.

(ii) Uji hipotesis bahwa “tidak ada perbedaan preferensi dalam kelompok”.

(iii) Menafsirkan temuan.

Penyelesaian:

Langkah-langkah berikut dapat diikuti untuk perhitungan x ² dan menarik kesimpulan:

Langkah 1:

Hitunglah frekuensi harapan (f _e ) yang berkorespondensi dengan frekuensi yang teramati dalam setiap kasus berdasarkan beberapa teori atau hipotesis.

Dalam contoh kita, teorinya memiliki probabilitas yang sama (hipotesis nol). Di baris kedua distribusi jawaban yang diharapkan pada hipotesis nol dipilih sama.

Langkah 2:

Hitung simpangan (f _o – f _e ) untuk setiap frekuensi. Masing-masing perbedaan ini dikuadratkan dan dibagi dengan f _e (256/32, 64/32 dan 64/32).

Langkah 3:

Tambahkan nilai-nilai ini untuk dihitung:

Langkah 4:

Derajat kebebasan pada tabel dihitung dari rumus df = (r – 1) (c – 1) menjadi (3 – 1) (2 – 1) atau 2.

Langkah 5:

Cari nilai hitung (kritis) χ ² untuk 2 df pada tingkat signifikansi tertentu, biasanya 5% atau 1%.

Dengan df = 2, nilai χ ² menjadi signifikan pada taraf 0,01 adalah 9,21 (Tabel E). Diperoleh nilai χ ² sebesar 12 > 9,21.

i. Oleh karena itu perbedaan yang ditandai adalah signifikan.

1. Hipotesis nol ditolak.

aku ii. Kami menyimpulkan bahwa kelompok kami sangat menyukai proposisi tersebut.

Kami menolak hipotesis “jawaban yang sama” dan menyimpulkan bahwa kelompok kami mendukung proposisi tersebut.

Contoh 2:

Jumlah kecelakaan mobil per minggu di komunitas tertentu adalah sebagai berikut:

12, 8, 20, 2, 14, 10, 15, 6, 9, 4

Apakah frekuensi ini sesuai dengan keyakinan bahwa kondisi kecelakaan sama selama periode 10 minggu ini?

Penyelesaian:

Hipotesis Nol—Siapkan hipotesis nol bahwa frekuensi yang diberikan (jumlah kecelakaan per minggu dalam komunitas tertentu) konsisten dengan keyakinan bahwa kondisi kecelakaan sama selama periode 10 minggu.

Karena jumlah total kecelakaan selama 10 minggu adalah:

12 + 8 + 20 + 2 + 14 + 10 + 15 + 6 + 9 + 4 = 100.

Di bawah hipotesis nol, kecelakaan ini harus terdistribusi secara merata selama periode 10 minggu dan karenanya jumlah kecelakaan yang diharapkan untuk setiap 10 minggu adalah 100/10 = 10.

Karena nilai hitung χ ² = 26,6 lebih besar dari nilai tabulasi, 21,666. Ini signifikan dan hipotesis nol ditolak pada tingkat signifikansi 0,01. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa kondisi kecelakaan pasti tidak seragam (sama) selama periode 10 minggu.

2. Menguji divergensi hasil pengamatan dari yang diharapkan pada hipotesis distribusi normal:

Hipotesis, alih-alih memiliki kemungkinan yang sama, dapat mengikuti distribusi normal. Sebuah contoh mengilustrasikan bagaimana hipotesis ini dapat diuji dengan chi-kuadrat.

Contoh 3:

Dua ratus penjual telah diklasifikasikan ke dalam tiga kelompok sangat baik, memuaskan, dan buruk—berdasarkan kesepakatan para manajer penjualan.

Apakah distribusi rating ini berbeda secara signifikan dari yang diharapkan jika kemampuan menjual didistribusikan secara normal pada populasi salesman kita?

Kami membuat hipotesis bahwa kemampuan menjual terdistribusi secara normal. Kurva normal memanjang dari – 3σ hingga + 3σ. Jika kemampuan menjual terdistribusi secara normal garis dasar dapat dibagi menjadi tiga segmen yang sama, yaitu

(+ 1σ hingga + 3σ), (- 1σ hingga + 1σ) dan (- 3σ hingga – 1σ) masing-masing mewakili penjual yang baik, memuaskan, dan buruk. Dengan merujuk Tabel A kami menemukan bahwa 16% kasus berada di antara + 1σ dan +3σ, 68% di antara – 1σ dan + 1σ dan 16% di antara – 3σ dan – 1σ. Dalam kasus soal kita, 16% dari 200 = 32 dan 68% dari 200 = 136.

df= 2. P kurang dari 0,01

Hitung χ ² = 72,76

χ ^{2 terhitung} dari 72,76 > 9,21. Oleh karena itu P kurang dari 0,01.

.Ë™. Perbedaan antara frekuensi yang diamati dan frekuensi yang diharapkan cukup signifikan. Atas dasar ini hipotesis distribusi normal kemampuan menjual pada kelompok ini harus ditolak. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa distribusi peringkat berbeda dari yang diharapkan.

3. Uji Chi-Square ketika ekspektasi kita didasarkan pada hasil yang telah ditentukan sebelumnya:

Contoh 4:

Dalam percobaan pemuliaan kacang polong, seorang peneliti memperoleh data sebagai berikut:

Teori memprediksi proporsi biji, dalam empat kelompok A, B, C dan D harus 9: 3: 3: 1. Dalam percobaan di antara 1.600 biji, jumlah dalam empat kelompok adalah 882, 313, 287 dan 118. Apakah hasil percobaan mendukung teori genetika? (Uji pada tingkat 0,05).

Penyelesaian:

Kami menetapkan hipotesis nol bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai eksperimen dan teori. Dengan kata lain ada korespondensi yang baik antara teori dan eksperimen, yaitu teori mendukung eksperimen.

Karena nilai χ ² hitung sebesar 4,726 < 7,81 maka tidak signifikan. Oleh karena itu hipotesis nol dapat diterima pada tingkat signifikansi 0,05 dan kita dapat menyimpulkan bahwa hasil percobaan mendukung teori genetika.

4. Uji Chi-square saat entri tabel kecil:

Ketika entri tabel kecil dan ketika tabel 2 x 2 kali lipat, yaitu, df = 1, χ ² tunduk pada kesalahan yang cukup besar kecuali dilakukan koreksi untuk kontinuitas (disebut Koreksi Yates).

Contoh 5:

Empat puluh tikus ditawari kesempatan untuk memilih antara dua rute. Ditemukan bahwa 13 memilih rute terang (yakni, rute dengan penerangan lebih) dan 27 memilih rute gelap.

(i) Uji hipotesis bahwa iluminasi tidak membuat perbedaan dalam preferensi tikus untuk rute (Uji pada tingkat 0,05).

(ii) Uji apakah tikus memiliki preferensi terhadap rute gelap.

Penyelesaian:

Jika iluminasi tidak membuat perbedaan dalam preferensi untuk rute yaitu, jika H ₀ benar, preferensi proporsional akan menjadi 1/2 untuk setiap rute (yaitu, 20).

Dalam contoh kita, kita mengurangi 0,5 dari setiap perbedaan (f _o – f _e ) karena alasan berikut:

Data dapat ditabulasikan sebagai berikut:

Ketika entri yang diharapkan dalam tabel lipat 2 x 2 sama dengan soal kita, rumus chi-kuadrat dapat ditulis dalam bentuk yang agak lebih pendek sebagai berikut:

(i) Nilai kritis χ ² pada tingkat 0,05 adalah 3,841. Diperoleh χ ² sebesar 4,22 lebih dari 3,841. Oleh karena itu hipotesis nol ditolak pada tingkat 0,05. Rupanya terang atau gelap merupakan faktor dalam pilihan tikus untuk rute.

(ii) Dalam contoh kita, kita harus membuat uji satu arah. Memasuki tabel E kita menemukan bahwa χ ² dari 4,22 memiliki P = 0,043 (dengan interpolasi).

.Ë™. P/2 = 0,0215 atau 2%. Dengan kata lain, ada 2 peluang dalam 100 bahwa divergensi seperti itu akan terjadi.

Oleh karena itu kami menandai divergensi menjadi signifikan pada level 02.

Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa tikus lebih menyukai rute gelap.

5. Uji independensi Chi-kuadrat dalam tabel kontingensi:

Terkadang kita mungkin menghadapi situasi yang mengharuskan kita menguji apakah ada hubungan (atau asosiasi) antara dua variabel atau atribut. Dengan kata lain χ ² dapat dibuat ketika kita ingin menyelidiki hubungan antara sifat atau atribut yang dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori atau lebih.

Sebagai contoh, kita mungkin diminta untuk menguji apakah warna mata ayah dikaitkan dengan warna mata anak laki-laki, apakah status sosial ekonomi keluarga dikaitkan dengan preferensi merek komoditas yang berbeda, apakah pendidikan ukuran pasangan dan keluarga terkait, apakah vaksin tertentu memiliki efek pengendalian pada penyakit tertentu, dll.

Untuk melakukan pengujian kita siapkan ujung tabel kontingensi untuk menghitung f _e (frekuensi yang diharapkan) untuk setiap sel tabel kontingensi kemudian menghitung χ ² dengan menggunakan rumus:

Hipotesis nol:

χ ² dihitung dengan asumsi bahwa kedua atribut saling bebas, yaitu tidak ada hubungan antara kedua atribut.

Perhitungan frekuensi harapan suatu sel adalah sebagai berikut:

Contoh 6:

Dalam sampel tertentu dari 2.000 keluarga, 1.400 keluarga adalah konsumen teh dimana 1236 keluarga Hindu dan 164 keluarga non-Hindu.

Dan 600 keluarga bukan konsumen teh dimana 564 keluarga Hindu dan 36 keluarga non-Hindu. Gunakan χ ² – uji dan nyatakan apakah ada perbedaan yang signifikan antara konsumsi teh di antara keluarga Hindu dan non-Hindu.

Penyelesaian:

Data di atas dapat disusun dalam bentuk tabel kontingensi 2 x 2 seperti di bawah ini:

Kami menetapkan hipotesis nol (H ₀ ) bahwa dua atribut yaitu, ‘konsumsi teh’ dan ‘masyarakat’ adalah independen. Dengan kata lain, tidak ada perbedaan yang signifikan antara konsumsi teh pada keluarga Hindu dan non-Hindu.

Karena nilai χ ^{2 yang dihitung} , yaitu 15,24 jauh lebih besar daripada nilai tabulasi χ ² pada tingkat signifikansi 0,01; nilai χ ² sangat signifikan dan hipotesis nol ditolak.

Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa kedua komunitas (Hindu dan Non-Hindu) berbeda secara signifikan dalam hal konsumsi teh di antara mereka.

Contoh 7:

Tabel di bawah ini menunjukkan data yang diperoleh selama epidemi kolera.

Uji efektivitas inokulasi dalam mencegah serangan kolera.

Penyelesaian:

Kami menetapkan hipotesis nol (H ₀ ) bahwa dua atribut yaitu, inokulasi dan tidak adanya serangan dari kolera tidak terkait. Kedua atribut dalam tabel yang diberikan adalah independen.

Berdasarkan hipotesis kami, kami dapat menghitung frekuensi yang diharapkan sebagai berikut:

Perhitungan (f _e ):

Nilai lima persen dari χ ² untuk 1 df adalah 3,841, yang jauh lebih kecil dari nilai χ ^{2 yang dihitung} . Jadi dalam terang ini, kesimpulan jelas bahwa hipotesis salah dan inokulasi dan tidak adanya serangan dari kolera terkait.

Syarat Validitas Uji Chi-Square:

Statistik uji Chi-square dapat digunakan jika kondisi berikut terpenuhi:

1. N, frekuensi total, harus cukup besar, katakanlah lebih besar dari 50.
2. Pengamatan sampel harus independen. Ini menyiratkan bahwa tidak ada item individu yang harus dimasukkan dua kali atau lebih dalam sampel.
3. Batasan pada frekuensi sel, jika ada, harus linier (yakni, batasan tersebut tidak melibatkan kuadrat dan pangkat frekuensi yang lebih tinggi) seperti −f _o = −f _e = N.
4. Frekuensi teoretis tidak boleh kecil. Kecil adalah istilah yang relatif. Sebaiknya setiap frekuensi teoretis harus lebih besar dari 10 tetapi dalam hal apapun tidak kurang dari 5.

Jika ada frekuensi teoretis yang kurang dari 5 maka kita tidak dapat menerapkan uji χ ² seperti itu. Dalam hal ini kami menggunakan teknik “pooling†yang terdiri dari menjumlahkan frekuensi yang kurang dari 5 dengan frekuensi (frekuensi) sebelumnya atau berikutnya sehingga jumlah yang dihasilkan lebih besar dari 5 dan menyesuaikan derajat kebebasannya.

5. Distribusi yang diberikan tidak boleh diganti dengan frekuensi atau proporsi relatif tetapi data harus diberikan dalam satuan aslinya.
6. Koreksi Yates harus diterapkan dalam keadaan khusus ketika df = 1 (yaitu dalam tabel 2 x 2) dan ketika entri sel kecil.
7. χ ² -tes sebagian besar digunakan sebagai tes non-arah (yaitu kita membuat tes dua sisi.). Namun, mungkin ada kasus ketika tes χ ² dapat digunakan dalam membuat tes satu sisi.

Dalam uji satu sisi kami menggandakan nilai-P. Misalnya dengan df = 1, maka nilai kritis χ ² pada taraf 05 adalah 2,706 (2,706 adalah nilai yang ditulis di bawah taraf 10) dan nilai kritis dari; χ ² pada level .01 adalah 5.412 (nilainya ditulis di bawah level .02).

Sifat Aditif Uji Chi-Square:

χ ² memiliki sifat penjumlahan yang sangat berguna. Jika sejumlah studi sampel telah dilakukan di bidang yang sama maka hasilnya dapat dikumpulkan bersama untuk mendapatkan gambaran yang akurat tentang posisi yang sebenarnya.

Misalkan sepuluh percobaan telah dilakukan untuk menguji apakah vaksin tertentu efektif melawan penyakit tertentu. Sekarang di sini kita akan memiliki sepuluh nilai χ ² yang berbeda dan sepuluh nilai df yang berbeda.

Kita dapat menjumlahkan sepuluh χ ² untuk mendapatkan satu nilai dan demikian pula sepuluh nilai df juga dapat dijumlahkan. Jadi, kita akan memiliki satu nilai χ ² dan satu nilai derajat kebebasan. Sekarang kita dapat menguji hasil dari kesepuluh percobaan ini yang digabungkan bersama dan mencari nilai P.

Misalkan lima percobaan independen telah dilakukan di bidang tertentu. Misalkan dalam setiap kasus ada satu df dan berikut nilai χ ² diperoleh.

Sekarang pada tingkat signifikansi 5% (atau untuk P – 0,05) nilai χ ² untuk satu df adalah 3,841. Dari perhitungan nilai χ ² yang diberikan di atas kita melihat bahwa hanya dalam satu kemudahan yaitu, percobaan No. 3 nilai pengamatan χ ² kurang dari nilai tabulasi 3,841.

Ini berarti bahwa sejauh percobaan ini menyangkut perbedaannya tidak signifikan tetapi dalam empat kasus yang tersisa nilai χ ^{2 yang dihitung} lebih dari 3,841 dan dengan demikian pada tingkat signifikansi 5% perbedaan antara frekuensi yang diharapkan dan yang sebenarnya adalah penting.

Jika kita menjumlahkan semua nilai χ ^{2 ,} kita mendapatkan (4,3 + 5,7 + 2,1 + 3,9 + 8,3) atau 24,3. Jumlah derajat bebasnya adalah 5. Artinya nilai hitung χ ² untuk 5 df adalah 24,3.

Jika kita melihat pada tabel χ ² kita akan menemukan bahwa pada tingkat signifikansi 5% untuk 5 df nilai χ ² adalah 11,070. Nilai χ ² yang dihitung yaitu 24,3 jauh lebih tinggi dari nilai tabulasi dan dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa perbedaan antara frekuensi yang diamati dan yang diharapkan adalah signifikan.

Bahkan jika kita mengambil tingkat signifikansi 1% (atau P = 0,01) nilai tabel χ ² hanya 15,086. Dengan demikian probabilitas untuk mendapatkan nilai χ ² sama dengan atau lebih dari 24,3 akibat fluktuasi sampling jauh lebih kecil dari genap 0,01 atau dengan kata lain perbedaannya signifikan.

Aplikasi Chi-Test:

Penerapan χ ² -statistik uji dapat didiskusikan sebagai berikut:

1. Menguji divergensi hasil yang diamati dari hasil yang diharapkan ketika harapan kita didasarkan pada hipotesis probabilitas yang sama.
2. Uji chi-square ketika ekspektasi didasarkan pada distribusi normal.
3. Uji Chi-Square ketika ekspektasi kita didasarkan pada hasil yang telah ditentukan sebelumnya.
4. Koreksi diskontinuitas atau koreksi Yates dalam menghitung χ ² .
5. Uji independensi chi-square pada tabel kontingensi.

Kegunaan Uji Chi-Square:

1. Meskipun tes dilakukan dalam bentuk frekuensi, paling baik dilihat secara konseptual sebagai tes tentang proporsi.
2. Uji χ ² digunakan dalam pengujian hipotesis dan tidak berguna untuk estimasi.
3. Uji chi-square dapat diterapkan pada tabel kontingensi kompleks dengan beberapa kelas.
4. Uji chi-kuadrat memiliki sifat yang sangat berguna yaitu ‘sifat aditif’. Jika sejumlah studi sampel dilakukan di bidang yang sama, hasilnya dapat dikumpulkan bersama. Ini berarti bahwa χ ² -nilai dapat ditambahkan.