Fungsi Totient Euler

Apa Fungsi Totient Euler?

Fungsi totient Euler adalah fungsi perkalian matematika yang menghitung bilangan bulat positif hingga bilangan bulat yang diberikan, umumnya disebut ‘n’, yang merupakan bilangan prima untuk ‘n.’ Seseorang dapat menggunakan fungsi untuk mengetahui jumlah bilangan prima yang ada hingga bilangan bulat ‘n’ yang diberikan.

Penjelasan

Fungsi totient Euler dapat digunakan untuk mengetahui berapa banyak bilangan prima yang muncul dari bilangan bulat ‘n’ yang diberikan. Ini juga disebut fungsi aritmatika. Dua hal penting untuk aplikasi atau penggunaan fungsi totient Euler. Salah satunya adalah gcd yang dibentuk dari bilangan bulat ‘n’ yang diberikan harus bersifat perkalian. Yang lainnya adalah bahwa bilangan gcd harus berupa bilangan prima saja. Bilangan bulat ‘n’ dalam hal ini harus lebih dari 1. Menghitung fungsi totient Euler dari bilangan bulat negatif tidak mungkin dilakukan. Prinsipnya, dalam hal ini, untuk ϕ(n), perkalian yang disebut m dan n harus lebih besar dari 1. Oleh karena itu, dilambangkan dengan 1<m<n dan gcd (m, n) = 1. Tanda ϕ adalah tanda yang digunakan untuk menunjukkan fungsi totient.

Sejarah

Euler memperkenalkan fungsi ini pada tahun 1763. Awalnya, Euler menggunakan bahasa Yunani π untuk menunjukkan fungsi tersebut, tetapi karena beberapa masalah, denotasinya terhadap bahasa Yunani π tidak mendapat pengakuan. Dan, dia gagal memberikan tanda notasi yang tepat, yaitu ϕ. Oleh karena itu, tidak dapat memperkenalkan fungsi. Selanjutnya, ϕ berasal dari Disquisitiones Arithmeticae Gauss tahun 1801. Fungsi ini juga dikenal sebagai fungsi phi. Tetapi JJ Sylvester, pada tahun 1879, memasukkan istilah totient untuk fungsi ini karena sifat dan kegunaannya. Aturan yang berbeda berurusan dengan berbagai jenis bilangan bulat, seperti jika bilangan bulat p adalah bilangan prima, lalu aturan mana yang diterapkan, dll. Euler membingkai semua aturan agar dapat dipraktikkan. Oleh karena itu, seseorang dapat menggunakannya bahkan hari ini sambil berurusan dengan hal yang sama.

Properti Fungsi Totient Euler

Ada beberapa properti yang berbeda. Beberapa sifat fungsi totient Euler adalah sebagai berikut:

Φ adalah simbol yang digunakan untuk menunjukkan fungsi.
Fungsi berkaitan dengan teori bilangan prima.
Fungsi ini hanya berlaku dalam kasus bilangan bulat positif.
Untuk ϕ (n), kita dapat menemukan dua bilangan prima perkalian untuk menghitung fungsinya.
Fungsi tersebut merupakan fungsi matematika dan berguna dalam banyak hal.
Jika bilangan bulat ‘n’ adalah bilangan prima, maka gcd (m, n) = 1.
Fungsi ini bekerja pada rumus 1< m< n, di mana m dan n adalah bilangan prima dan perkalian.
Secara umum, persamaannya adalah:

Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 – 1/ n)

tautan atribusi

Fungsi menghitung jumlah bilangan bulat positif kurang dari bilangan bulat yang diberikan, yang merupakan bilangan prima relatif terhadap bilangan bulat yang diberikan.
Jika bilangan bulat yang diberikan p adalah bilangan prima, maka ϕ (p) = p – 1
Jika p pangkat prima, maka jika a = p ⁿpangkat prima, maka ϕ (p ⁿ) = p ⁿ– p ^{( n-1)}
ϕ (n) bukan satu – satu
ϕ (n) tidak ke.
ϕ (n), n > 3 selalu genap.
ϕ( 10 ⁿ) = 4 * 10 ^n-1

Hitung Fungsi Totient Euler

Contoh 1

Hitung ϕ (7)?

Larutan:

ϕ ( 7 ) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Karena semua bilangan prima hingga 7, menghitung ϕ menjadi mudah.

Contoh #2

Hitung ϕ ( 100 )?

Larutan:

Karena 100 adalah bilangan yang besar, memakan waktu untuk menghitung dari 1 sampai 100 bilangan prima, yang merupakan bilangan prima dengan 100. Oleh karena itu, kami menerapkan rumus di bawah ini:

ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 – 1/ n)
ϕ (100) = 2 ²* 2 ⁵
ϕ (100) = 2 ²* 2 ⁵* (1 – 1/2) * ( 1 – 1/5)
= 100 * 1/2 * 4/5
= 40

Contoh #3

Hitung ϕ (240)?

Kelipatan dari 240 adalah 16*5*3 yaitu 2 ⁴* 5 * 3

ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 – 1/ n)
ϕ (240) = 2 ⁴* 5 * 3

jika n ^Mbukan bilangan prima maka digunakan n ^m– n ^m-1

= ( 2 ⁴– 2 ^(4-1)) * (5 ¹– 5 ^(1-1)) * (3 ¹– 3 ^(1-1))
= (2 ⁴– 2 ³) * (5 – 1) * (3 – 1)
= 64

Contoh #4

Hitung ϕ ( 49 )?

ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 – 1/ n)
ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
= ( 7 ¹– 7 ^(1-1)) * (7 ¹– 7 ^(1-1))
= (7-1) * (7-1)
= 6 * 6
= 36

Aplikasi

Berbagai aplikasi adalah seperti di bawah ini:

Seseorang dapat menggunakan fungsi untuk menentukan sistem enkripsi RSA yang digunakan untuk enkripsi keamanan internet.
Seseorang dapat menggunakannya dalam teori bilangan prima.
Seseorang dapat menggunakannya dalam perhitungan besar juga.
Seseorang dapat menggunakannya dalam aplikasi teori bilangan dasar.

Kesimpulan

Fungsi totient Euler berguna dalam banyak hal. Seseorang dapat menggunakannya dalam sistem enkripsi RSA untuk tujuan keamanan. Fungsi berkaitan dengan teori bilangan prima, dan berguna dalam perhitungan perhitungan besar juga. Seseorang juga dapat menggunakan fungsi ini dalam perhitungan aljabar dan bilangan dasar. Simbol yang digunakan untuk menunjukkan fungsi adalah ϕ, juga disebut fungsi phi. Fungsi ini terdiri dari penggunaan yang lebih teoretis daripada penggunaan praktis. Penggunaan praktis dari fungsi ini terbatas. Seseorang dapat memahami fungsi melalui berbagai contoh praktis daripada penjelasan teoretis. Ada berbagai aturan untuk menghitung fungsi totient Euler, dan aturan yang berbeda berlaku untuk bilangan yang berbeda. Fungsi ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1763. Karena beberapa masalah, ia mendapat pengakuan pada tahun 1784, dan mereka mengubah namanya pada tahun 1879. Fungsi ini bersifat universal dan dapat diterapkan di mana saja.

Artikel yang Direkomendasikan

Artikel ini telah menjadi panduan untuk Fungsi Totient Euler. Di sini, kita membahas menghitung fungsi, contoh, dan aplikasi totient Euler. Anda dapat mempelajari lebih lanjut tentang pembiayaan dari artikel berikut: –